费用流

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费用流，就是在网络流的基础上加入了每条边单位流量的费用，求最大流量和在最大流量的情况下费用的最小值的问题。

对于这种问题，基本思路当然还是在最大流问题的基础上修改啊

所以在这里我给出2种解法：（例题： P3381 【模板】最小费用最大流）

1、EK-改

当然这也是目前的主流写法，在EK中，将BFS过程换成SPFA的过程，松弛与增广一起进行，当然是很美妙的写法。当然整体的代码和EK没有什么特别大的区别，就不多讲了。

下面是代码（1604ms）

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#include <bits/stdc++.h>
#define N 200000+110
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
int n,m,S,T,cnt,ans,Ans;
int head[N],q[N],pre[N],dist[N],mn[N];
bool vis[N];
struct edge
{
    int to,nxt,weigh,cost;
}e[N];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline int add(int u,int v,int w,int f)
{
    e[cnt]=(edge){v,head[u],w,f};
    head[u]=cnt++;
}
inline bool SPFA(int s,int t)
{
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        dist[i]=inf,vis[i]=0,pre[i]=-1;
    int fr=1,tl=0;
    q[1]=s,vis[s]=1,mn[s]=inf,dist[s]=0;
    while(tl<fr)
    {
        int u=q[++tl];
        vis[u]=0;
        for(register int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].to;
            if(dist[v]>dist[u]+e[i].cost&&e[i].weigh>0)
            {
                dist[v]=dist[u]+e[i].cost;
                mn[v]=min(e[i].weigh,mn[u]);
                pre[v]=i;
                if(!vis[v])
                {
                    q[++fr]=v;
                    vis[v]=1;
                }
            }
        }
    }
    return dist[t]!=inf;
}
inline void EK(int s,int t)
{
    while(SPFA(s,t))
    {
        int x=t;
        while(x!=s)
        {
            int i=pre[x];
            e[i].weigh-=mn[t];
            e[i^1].weigh+=mn[t];
            x=e[i^1].to;
        }
        Ans+=mn[t];
        ans+=dist[t]*mn[t];
    }
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read(),m=read(),S=read(),T=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read(),f=read();
        add(u,v,w,f);
        add(v,u,0,-f);
    }
    EK(S,T);
    printf("%d %d",Ans,ans);
    return 0;
}

2、ZKW

首先%ZKW大神：从入门到精通: 最小费用流的“zkw算法”

是不是觉得EK实在是慢得惊人呢？那么我们来看一下ZKW神犇发明的“ZKW算法”。当然，按照ZKW本人的意思，我下面贴的这段代码并不是“ZKW费用流”，因为它用到了SPFA。ZKW本人的代码可以在上面的链接里找到，以下是我个人的见解（因为我不会KM啊）

这里呢，我们用了一个DFS，它的用处就在于多路增广，可以降低某些图上的复杂度。有这个基础的话就可以接受SPFA的复杂度了，而且也可以在有负权的图上跑了。

以下是代码（932ms）

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#include <bits/stdc++.h>
#define N 200000+110
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
int n,m,S,T,cnt,ans;
int deep[N],head[N],q[N],dist[N];
bool vis[N];
struct edge
{
    int to,nxt,weigh,cost;
}e[N];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void add(int u,int v,int w,int f)
{
    e[cnt]=(edge){v,head[u],w,f};
    head[u]=cnt++;
}
inline bool SPFA(int s,int t)
{
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        dist[i]=inf,vis[i]=0;
    dist[t]=0;
    vis[t]=1;//首先SPFA我们维护距离标号的时候要倒着跑，这样可以维护出到终点的最短路径
    int fr=1,tl=0;
    q[1]=t;
    while(tl<fr)
    {
        int u=q[++tl];
        for(register int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].to;
            if(e[i^1].weigh&&dist[v]>dist[u]-e[i].cost)//首先c[k^1]是为什么呢？因为我们要保证正流，但是SPFA是倒着跑的，所以说我们要求c[k]的对应反向边是正的，这样保证走的方向是正确的
            {
                dist[v]=dist[u]-e[i].cost;//因为已经是倒着的了，我们也可以很清楚明白地知道建边的时候反向边的边权是负的，所以减一下就对了（负负得正）
                if(!vis[v])
                {
                    vis[v]=1;
                    q[++fr]=v;
                }
            }
        }
        vis[u]=0;
    }
    return dist[s]<inf
}
inline int dfs(int u,int t,int dis)
{
    if(u==t)
    {
        vis[t]=1;
        return dis;
    }
    vis[u]=1;
    int used=0;
    for(register int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
    {
        int v=e[i].to;
        if(!vis[v]&&e[i].weigh&&dist[u]-e[i].cost==dist[v])//增广的条件（虽然我不太懂）
        {
            int a=dfs(v,t,min(e[i].weigh,dis-used));
            if(a)
            {
                ans+=a*e[i].cost;
                e[i].weigh-=a;
                e[i^1].weigh+=a;
                used+=a;
            }
            if(used==dis)
                break;
        }
    }
    return used;
}
inline int CostFlow(int s,int t)
{
    int flow=0;
    while(SPFA(s,t))
    {
        vis[t]=1;
        while(vis[t])
        {
            for(register int i=1;i<=n;i++)
                vis[i]=0;
            flow+=dfs(s,t,inf);
        }
    }
    return flow;
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read(),m=read(),S=read(),T=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read(),f=read();
        add(u,v,w,f);
        add(v,u,0,-f);
    }
    printf("%d ",CostFlow(S,T));
    printf("%d",ans);;
    return 0;
}

以上就是一般的ZKW（伪）

SLF优化

那么如果对这个效率还不满意呢？

对了，向标题所说的那样，进行SLF优化吧（虽然我不懂）

代码如下（860ms）

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#include <bits/stdc++.h>
#define N 200000+110
#define inf 0x7fffffff
using namespace std;
int n,m,S,T,cnt,ans;
int deep[N],head[N],dist[N];
bool vis[N];
struct edge
{
    int to,nxt,weigh,cost;
}e[N];
inline int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9')
    {
        if(ch=='-')
            f=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(ch>='0'&&ch<='9')
    {
        x=x*10+ch-'0';
        ch=getchar();
    }
    return x*f;
}
inline void add(int u,int v,int w,int f)
{
    e[cnt]=(edge){v,head[u],w,f};
    head[u]=cnt++;
}
inline bool SPFA(int s,int t)
{
    for(register int i=1;i<=n;i++)
        dist[i]=inf,vis[i]=0;
    dist[t]=0;
    vis[t]=1;
    deque<int>q;
    q.push_back(t);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop_front();
        for(register int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
        {
            int v=e[i].to;
            if(e[i^1].weigh&&dist[v]>dist[u]-e[i].cost)
            {
                dist[v]=dist[u]-e[i].cost;
                if(!vis[v])
                {
                    vis[v]=1;
                    if(!q.empty()&&dist[v]<dist[q.front()])
                        q.push_front(v);
                    else
                        q.push_back(v);
                }
            }
        }
        vis[u]=0;
    }
    if(dist[s]<inf)
        return 1;
    else
        return 0;
}
inline int dfs(int u,int t,int dis)
{
    if(u==t)
    {
        vis[t]=1;
        return dis;
    }
    vis[u]=1;
    int used=0;
    for(register int i=head[u];i!=-1;i=e[i].nxt)
    {
        int v=e[i].to;
        if(!vis[v]&&e[i].weigh&&dist[u]-e[i].cost==dist[v])
        {
            int a=dfs(v,t,min(e[i].weigh,dis-used));
            if(a)
            {
                ans+=a*e[i].cost;
                e[i].weigh-=a;
                e[i^1].weigh+=a;
                used+=a;
            }
            if(used==dis)
                break;
        }
    }
    return used;
}
inline int CostFlow(int s,int t)
{
    int flow=0;
    while(SPFA(s,t))
    {
        vis[t]=1;
        while(vis[t])
        {
            for(register int i=1;i<=n;i++)
                vis[i]=0;
            flow+=dfs(s,t,inf);
        }
    }
    return flow;
}
int main()
{
    memset(head,-1,sizeof(head));
    n=read(),m=read(),S=read(),T=read();
    for(register int i=1;i<=m;i++)
    {
        int u=read(),v=read(),w=read(),f=read();
        add(u,v,w,f);
        add(v,u,0,-f);
    }
    printf("%d ",CostFlow(S,T));
    printf("%d",ans);;
    return 0;
}

看完代码和上面的一比较，你们大概会觉得没什么区别吧，说起来也差不多，就是SPFA的时候用了个双端队列的STL，然后入队时加入了一点玄学特判，总之就是这样了，反正这样就快一些就是了。

【注】本段部分引用一种更高效的费用流算法——zkw费用流

然后费用流就讲完了DA☆ZE！

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